今年高考又帶出了多少話題和熱點？高考作文題目、高考路途暖心事、高考數學，都引起了大家的熱烈討論。其中高考數學在開考當天，就榮登媒體微博熱搜第二。
話題里多是考生與老師們對于題目難度過高的討論，甚至有考生做題時直接落淚，讓人感慨萬分。老師們紛紛表示：的確難！
同時，老師們也在分析為什么難，從中找原因。i3DOne社區創客導師、廣州開發區外國語學校的通用技術教師彭振建指出，造成難度大的其中一個原因是，面臨幾何方面的考題，多數考生因為立體空間感差，例如不能正確識別正四棱錐和球之間的關系；另外無法使用三視圖（主、俯視圖）來分析，僅用常規斜二測平面立體圖，很容易找不著北。
針對這個難點，i3DOne社區主編林Sir建議彭老師，是否可以從另外角度尋找幫助學生們提高解題能力的方法，例如用三維創意設計軟件3D One，作為學習研究立體幾何的工具，對數學幾何題做個剖析講解。雖然彭振建老師抱著試一試的心態進行解題，但他的解題過程，卻讓人眼前一亮，將復雜的數學幾何題，在3D One軟件里立體呈現出來，下面我們一起來看看彭老師是怎么用3D One進行高考數學解答：
2002的第一場雪，2022的第一道立體幾何
廣州開發區外國語學校 彭振建
我和i3DOne社區主編林Sir相識多年，正如刀郎的2002的第一場雪，林Sir給我來個2022的第一道立體幾何。題目大致如下：
林Sir的2022第一道題不亞于2002的第一場雪，很久不做數學了，幸好沒忘記棱臺體積公式。這條題可以說是送分題，只要科學計數法沒錯，計算細心點、慢點，一般學生全拿5分沒問題。
所以上題答案應選C。
剛才這道題像幾年前廣州的那一場“雪”，讓我這個南方人感的是那么興奮。林Sir毫不客氣地潑下一捧雪，再來一題如下：
8.已知正四棱錐的側棱長為l, 其各項點都在同一球面上，若該球的體積為36π，且3≤l≤3根號3, 該正四棱錐體積的取值范圍是( )
A.[18,81/4]; B.[27/4,84/4]; C.[27/4,64/3]; D.[18,27]
球體的體積公式為：V球體=4/3·Π·r3=36Π；直接可以推導出球體半徑為：r=3；
用林Sir最愛的3D One將此球體繪制為：
若正四棱錐的側棱長取值范圍，先看最小值“l=3”，在3D One中繪制該四棱錐如下：
不難想象正四棱錐的一個頂點在（0,0,3），底面正方形的四點位于紅藍兩圓的交界圓上。將紅、藍兩球體組合減編輯得到交界圓，以交界圓為平面繪制圓內接正方形后與點（0,0,3）進行“起點到輪廓”正常放樣得正四棱錐。放樣后利用3D One的“距離測量”工具驗證正四棱錐的側棱長為，如下：
將上圖在3D One Plus (x64)中轉換成三視圖，尺寸標注驗證如下：
根據3D One Plus 尺寸標注得到的數據可計算正四棱錐的體積為：3.67×3.67×1.5÷3≈6.73，先排除選項A、D?？赡苡行┩瑢W會說通用技術老師作弊，其實過程中還有一個條件r=3需要充分利用。
講到這里稍息暫停一下，剛進來的同學可能對3D One建模軟件在立體幾何中的初步呈現感到很新鮮，而數學老師看了以后覺得多此一舉，可以直接利用斜二測畫法將題意立體圖形繪制后分析講解。這也許就是師生之間的“隔閡”了，使用3D One的用意在于：利用軟件動態觀察的優勢讓一部分立體感還未完全建立起來的同學，能將3D模型與老師繪制的“平面立體圖”或“三視圖”聯系起來，才有后續分析的可能。
對于本題，我選用了“三視圖”中主、俯視圖進行分析；利用3D One Plus 進行3D與三視圖之間的轉化詳情可參閱《3D One Plus教輔三視構成》
下圖展現了3D模型與三視圖（主、俯）之間的對應關系，有條件的可以嘗試一下。
對應兩類圖，學生基本上能認識到“正四棱錐P-ABCD”中各個頂點都在“球面O”上，其中頂點A、B、C、D在球體中的圓M上。
上圖中三份主、俯視圖，你能想象出它們的立體圖嗎？若有困難可以參考數學老師常用的斜二測。
看到斜二測一團亂麻似的線，估計立體感不強的學生奔潰后直接放棄。
我們再看看3D One繪制的渲染圖（如下），配以動態視角，感覺來了，起碼知道正四棱錐與球、球面之間的位置關系。
借助3D One的幫助可以將本題斜二測平面立體圖變換為三視圖（主、俯視圖），即化3D為2D。
說到這就不得不說人的“惰性”了，如果在立體幾何教學中有豐富足量的教輔儀器設備，能為“立體盲”的學生解決每道題的實體模型，估計數學老師就是每天有25小時都辦不到了。3D One可以！許多小學生都能繪制出像模像樣的3D模型，足以證明其操作的簡易性，加上數學老師的數模要素，為需要的題目建模講解那是手到拿來的事情，讓這些“立體盲”的學生早日脫困也不是一件難事了。大家嘗試讓這些學生看看以下配圖及并非十分專業的解析，懇請指教。
由于文字圖片的平面編輯原因，配圖采取不同角度截圖手段合成，不能完全真實反映出軟件的輔助效果，大家可以在i3DOne社區.搜索“軸承座.Z1”模型，能在電腦上享受360°無死角地觀察幾何體，如下：
在輔助手段下認識到“三維→二維”邁出了關鍵一步，接下來進入實質性的“平面分析”。
正四棱錐的側棱長為l（3≤l≤√3），需確定其體積范圍。必不可少的公式倒推為：V正四棱錐=S底h/3←S底？、h？←S底？看俯視圖、h？看主視圖←S底(l,α)、h(l,α)。如下圖：
由上圖可得：
VP-ABCD=SABCDhPM/3、
VP'-A'B'C'D'=SA'B'C'D'hP'M'/3、
VP''-A''B''C''D''=SA''B''C''D''hP''M''/3。
先對比VP-ABCD、VP'-A'B'C'D'大?。河蓤D可知AC＜A'C'、PM＜P'M'；VP-ABCD＜VP'-A'B'C'D'；其實從上左圖到中圖的正四棱錐的變化過程可以發現，四棱錐的底面積變大、高增大，故體積一直增大，VP-ABCD??；再拿VP-ABCD與上中圖到右圖的正四棱錐的體積變化對比可以發現，四棱錐中右變化過程的底面積總比VP-ABCD的底面積、高都大。所以正四棱錐變化過程中VP-ABCD最小。
VP-ABCD=SABCDhPM/3=（AC·DB/2）·[PC·Cos(60°)]/3
=（2·OC·2·OC/2）·[PC·Cos(60°)]/3
=2·OC2·PC·Cos(60°)/3=2·[PC·Sin(60°)]2·PC·Cos(60°)/3
=2·PC3·Sin2(60°)·Cos(60°)/3=2×33×(3/4)×(1/2)/3
=27/4
觀察題目的四個選項Vmin=VP-ABCD=27/4，A、[18,81/4]；B、[27/4,81/4]；C、[27/4,64/3]；D、[18,27]?？?strong>直接刪除A、D。
那么如何在50%命中率的基礎下爭取全拿5分呢？我們只需要關注中、右圖的兩狀態及其變化過程。通過剛才對Vmin的計算推導中有：V=2·PC3·Sin2α·Cosα/3。
注意觀察、分析體積的通項公式可以發現VP-ABCD=f(PC,α)包含兩個變量，兩種三角函數，一下子無法判斷其是否具有單調性，則無法判斷Vmax=81/4，投機取巧的方法是避開選項B，選“C、[27/4,64/3]”。
下面我們嘗試推導一下體積通項公式：
正四棱錐體積：VP-ABCD = 144×(1-Cos2α)×Cos4α；下圖為其函數圖像，可以印證當正四棱柱棱長由l=3 → l=3√2、α=Π/3 → α=Π/4 時，高、底面積都增大，所以體積增大。
而在l=3 → l=3√3、α=Π/4 → α=Π/6時，高線性增大、底面積以幾何級數減少，但無法判斷單調性，即VP'-A'B'C'D'、VP''-A''B''C''D''都不一定為Vmax，此時只有另辟蹊徑了。
在α∈[Π/6，Π/4[，設Cos2α=X、（X∈[3/4，2/4]）；
則正四棱錐體積：VP-ABCD(α) = 144×(1-Cos2α)×Cos4α → VP-ABCD(X) = 144(1-X)X2 = 144(X2-X3)；
求導得到：V’P-ABCD(X) = 144(2X-3X2) = 144X(2-3X)；
令V’P-ABCD(X) = 144X(2-3X) = 0 → X = 2/3；
（分析二次函數V’P-ABCD(X)圖像，X=2/3左邊大于零，VP-ABCD(α)為增函數；X=2/3右邊小于零，VP-ABCD(α)為減函數；當X=2/3，VP-ABCD(α)為最大值VP-ABCD(α)max）
將 X = 2/3 代入VP-ABCD(X)得到：
VP-ABCD(X)max = 144(X2-X3) = 144×(4/9-8/27) = 144×(12/27-8/27) = 144×4/27 = 64/3；
到此，明確答案選項為C；
A、[18,81/4]；B、[27/4,81/4]；C、[27/4,64/3]；D、[18,27]
完成這道題目我們回顧解析思路：
1、這道題出題時沒有配圖的主要原因是考核學生的閱讀、空間構圖能力；
2、由體積為36π球體求出半徑r = 3，考察了球體積公式；
3、明確正四棱錐的體積為：V正四棱錐 = S底h/3，能在空間（三視圖）構圖中尋找S底、h的條件；
4、根據已知條件能反應出特殊角度30°、60°的三角函數值；
5、根據三視圖（主、俯視圖）分析三角形，含等腰△、等邊△、等腰Rt△、△外角等知識；
6、三角函數的二倍角公式：Sin2α = 2SinαCosα、Cos2α = 2Cos2α-1；
7、求導及利用導數分析函數（小于3次）的單調性和最值。
從解析思路可以看到此題包含眾多考核點，但每個知識點的運用都不是很難，關鍵是能跨出第一步，就是解決題圖的三維轉二維，這就需要老師拉近與學生的思想同步，使用更多的手段幫助學生突破立體感的盲區，試試3D One。
這個解題過程有沒有讓你眼前一亮呢？高考數學原來還能這樣解！3D One系列軟件，不僅能夠把各類圖形可視化，還充分鍛煉了青少年的想象能力和動手能力，這在各科學習過程中都是不可或缺的。所以彭老師說，掌握3D One，學習數學破解立體幾何并不難！
用3D One與學科融合教學，提升了教學思考的層次，學生在強化學科素養的同時，用新的態度和思維方式去認識世界、感受世界，可以激發學生的想象力和創造力，并獲得相應的綜合能力，3D One就屬此類融合教學工具。
本文內容僅代表作者本人觀點，與i3DOne社區無關。
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更新時間：2022-06-17
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